control theory

동역학 - 뉴턴 오일러 운동방정식 2

동역학 - 뉴턴 오일러 운동방정식 2 전진 순차 우선 전진 순차에 대해서 알아보도록 합시다. global 좌표계를 기준으로 할 때, 0번 좌표계를 원점으로 하고 초기 속도/가속도 정보를 가지고 링크 1부터 링크 $n$까지 전진하면서 모든 링크에 부착된 각 좌표계 원점들의 속도와 가속도를 순차적으로 계산하는 것입니다. 일단 다음 그림과 같이 하나의 링크를 세우고, 일반화하여 따져봅니다. 위 그림과 같이 $i-1$번째 링크의 앞/뒤 관절에 붙어 있는 $i-1$번째 좌표계 원점을 $O_{i-1}$로, $i$번째 좌표계 원점을 $O_i$라고 표시합니다. 그러면 $i$번째 좌표계 원점의 직진속도 및 회전속도는 다음 수식과 같이 표현됩니다. 찬찬히 살펴보자면, $i-1$번째 좌표계 원점의 직진속도와 회전속도 + $..

동역학 - 라그랑주 운동방정식 2

동역학 - 라그랑주 운동방정식 2 지금까지 살펴본 라그랑주 운동방정식을 1 링크, 2 링크 매니퓰레이터에 적용해봅시다. 순서: 1) 운동에너지 & 위치에너지 방정식을 구한다. 1-1) 링크가 관성을 갖는 경우, 각 링크의 관성을 고려하면서 직진/회전 운동에너지를 모두 고려해야 한다. 2) 라그랑지안을 구한다. 3) 식(2.3)을 적용하여 로봇 동역학 모델을 정의한다. $\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})-\frac{\partial L}{\partial q}=\tau$ 4) 부가적으로, 3)에서 구한 모델을 잘 정리하여 동역학의 성분 별로 분리할 수 있다. 1 링크 매니퓰레이터 다음과 같은 조건의 1 링크 로봇 매니퓰레이터의 동역학 모델을 얻어보는 과정..

동역학 - 라그랑주 운동방정식 1

동역학 - 라그랑주 운동방정식 1 지난 포스팅에, 라그랑주 운동방정식에 대해서 간단히 살펴봤습니다. 라그랑주 운동 방정식은 운동에너지와 위치에너지 기반의 스칼라량에 중점을 둔 운동방정식입니다. 이러한 라그랑주 운동방정식을 통한 로봇 동역학 모델은 다음과 같습니다. 이때, $L$은 라그랑지안(Lagrangian)이라는 스칼라 물리량이며, 로봇 시스템 점체의 운동에너지와 위치에너지의 차로 정의 됩니다. 수식은 아래와 같으며, 모두 관절 ($q$, $\dot{q}$)에 대한 함수 입니다. 다관절 로봇의 경우 운동에너지는 관절 속도벡터의 2차식(quadratic form)형태로 다음과 같이 얻어집니다. 그리고, 스칼라 형태의 라그랑주 식 (2.1)을 벡터식으로 변환하면 다음과 같습니다. 라그랑지안의 정의를 활용..

기구학 - Velocity Kinematics

속도 기구학 (Velocity Kinematics) 속도 수준에서 관절 공간과 작업 공간의 관계를 표현합니다. 사실 kinematics/inverse kinematics 는 비선형 관계입니다. Forward kinematics는 task space로의 해가 나오지만, 그 역은 exact한 해가 결정되지 않기 때문입니다. 따라서 선형 관계가 성립하는 미소 움직임에서의 표현 방법($\dot{q} \to \dot{p}$)을 알아야 합니다. 자코비안 (Jacobian) $m$ 차원 벡터 $p=[p_1, p_2, ... , p_m]^T$ 가 $n$ 차원 벡터 $q=[q_1, q_2, ... , q_n]^T$ 의 함수로 정의 된다고 할 때, Jacobian은 다음과 같이 정의 할 수 있다. 이와 같이 매니퓰레이터의..