동역학 - 라그랑주 운동방정식 1

동역학 - 라그랑주 운동방정식 1

지난 포스팅에, 라그랑주 운동방정식에 대해서 간단히 살펴봤습니다.

 

 라그랑주 운동 방정식은 운동에너지와 위치에너지 기반의 스칼라량에 중점을 둔 운동방정식입니다.

이러한 라그랑주 운동방정식을 통한 로봇 동역학 모델은 다음과 같습니다.

 이때, $L$은 라그랑지안(Lagrangian)이라는 스칼라 물리량이며, 로봇 시스템 점체의 운동에너지와 위치에너지의 차로 정의 됩니다. 수식은 아래와 같으며, 모두 관절 ($q$, $\dot{q}$)에 대한 함수 입니다.

 다관절 로봇의 경우 운동에너지는 관절 속도벡터의 2차식(quadratic form)형태로 다음과 같이 얻어집니다.

 그리고, 스칼라 형태의 라그랑주 식 (2.1)을 벡터식으로 변환하면 다음과 같습니다.

 라그랑지안의 정의를 활용하면 식 (2.3)은 다음과 같이 변환이 가능합니다.

 유효한 로봇 동역학 모델을 유도하기 위해 식 (2.2)를 라그랑주 운동 방정식 (2.4)에 적용하면 다음과 같이 '로봇 동역학 모델'을 얻을 수 있다.

 

 추가적으로 코리올리스 항에 대해서 조금만 더 생각해보자. 어찌보면 느껴보기 힘든 물리량이기도 하니까...

 식 (2.6)을 보면, 결국 관절 속도 벡터의 2차식 형태가 됨을 알 수 있습니다.

 이러한 식을 해석적으로 접근하기 위해 2차원 및 3차원 텐서 (tensor) 기호로 표현할 수 있습니다.

 3차원 텐서인 $c_{ijk}$ (Cheistoffel symbols)를 이용하여 로봇 제어기 설계나 안정성 증명에 많이 활용되는 로봇 동역학 모델의 중요한 특성 중 하나를 유도할 수 있습니다.

 그래서 결국은 $\dot{M}(q)-2C(q, \dot{q])$은 반대칭(skew symmetric) 행렬임을 유도 할 수 있습니다.

* 각 요소 값을 2차원 텐서로 표현하여 증명:

 

 

 

 

 

 

이상입니다.

---

* 본 글은 "실험로보틱스 교재 I(매니퓰래이션 및 비젼), 한국로봇학회, 제어로봇시스템학회, 한국로봇산업진흥원 "의 내용을 공부하면서 정리한 내용을 포스팅 한 것 입니다.