기구학 - 여유자유도(Redundancy)

여유자유도(Redundancy)

 여자유도는 매니퓰레이터에서, 필요한 위치와 방향각을 조정하기 위한 최소한의 자유도 보다 관절의 수가 많은 경우를 의미합니다.

 즉, 출력보다 입력의 차원이 더 높은 경우입니다.

 그리고 자코비안 행렬에서 열의 수가 행의 수보다 많을 때(가로로 넓게 생긴...)인 것이죠.

 

이럴 경우에 매니퓰레이터는 작업을 수행하면서 동시에 장애물을 회피할 수도 있고, 여러 개의 작업 조건(or 구속 조건이라 하는...)을 만족하면서 작업을 수행할 수도 있습니다.

 

다음은 Boston Dynmaics의 Stretch입니다.

0:46 부터

46초 부터 보시면 소위 null space control의 대표적인 모션을 보실 수가 있습니다.

 

 

매니퓰레이터가 여자유도일 경우, 다음과 같이 표현됩니다.

$\mathcal{R}(J)$를 $J(q)$의 range space(치역 공간)라고 하면, $\delta p$는 $m$차원 공간상의 부분 공간이라고 할 수 있습니다.

그리고 $\delta p$이 구현할 수 없는 부분을 orthogonal complementaty space (수직 보부분 공간)로 정의 할 수 있고, $\mathcal{R}(J)^{\perp}$ 로 표현 가능합니다.

이 때, 자코비안의 range space를 작업 가능한 공간이라고 하고, 작업 공간의 차원을 degree of manipulability(DoM)라고 합니다.

 

 이 부분에서 $J(q)$의 range space는 관절각에 대한 함수이기 때문에, 매니퓰레이터의 자세에 따라 변화합니다.

 만약에 매니퓰레이터의 자세가 특이점에 위치하거나 장애물에 의해 링크의 움직임이 제약을 받으면 매니퓰레이터가 움직일 수 없는 영역이 생기게 되죠.

 이럴 경우에 range space가 줄어드는 것으로 표현됩니다.

 

 Redundancy 상태인 매니퓰레이터의 가장 큰 특징은, 관절의 움직임이 작업 공간의 움직임을 발생하지 않는 경우가 존재하는 것입니다.

 이를 수학적으로 표현한다면 다음과 같습니다.

 식 (1.141)을 풀어 설명하자면, 서로 다른 $\delta q_1$와 $\delta q_2$를 비교 했을 때 영행렬이 존재하는 구간이 있다는 것이죠. 서로 다른 관절 값인데!!

 이를 수학적으로 $J(q)$의 null space라 부르고 $\mathcal{N}(J)$ 라 표현합니다. 그리고 이러한 null space를 여유자유도 공간이라고 하고, 이러한 차원을 여유자유도 (degree of redundancy, DoR)이라 합니다.

 이와 같은 null space를 활용하면 영상 속 BD의 stretch와 식 (1.141)과 같이 작업 공간에 영향을 주지 않고 관절 값을 바꿀 수 있는 것이죠.

 

 DoR을 활용한다는 것도 결국은 $\delta p$가 결정 됐을 때, $\delta q$가 무엇인가에 대한 문제로 귀결 되며, 자코비안의 역행렬을 구해야 합니다(어쨋든 자코비안...자코비안...).

 그러나 여자유도에서의 자코비안은 정방 행렬이 아니게 됩니다. 따라서 다음과 같은 의사 역행렬(pseudo-inverse, $J^{\sharp}$, (info))을 활용합니다.

 그리고 주어진 $J$에 대해서 유일 해(unique solution, info)로 존재하며 아래와 같은 특성을 가집니다.

 

 식 (1.140)의 해를 구하기 위해 의사 역행렬을 이용한 최소 제곱 해(least square method, LSM, info) 방법을 사용합니다.

결국 $\Vert \delta p - J\delta q \Vert$를 최소화 하는 것을 찾아야 하며, 다음과 같은 해를 가지게 됩니다.

 물론, 식 (1.140)의 해를 구하기 위해 LSM를 쓰는 것이 최선이라고 할 수는 없습니다. LSM이 유일한 방법은 아니고, 다양한 방법이 있습니다.

 

 그림 1.19에 대한 부분 공간은 다음과 같이 정의됩니다.

 즉, 주어진 작업 중에서 매니퓰레이터가 움직일 수 있는 공간을 $(J J^{\sharp})\delta p$을 통해서 분리해 낼 수 있습니다^[각주:1].

 다시 식 (1.142)를 보면,

 첫번째 항과 두번째 항이 수직임에 대한 증명은 다음과 같습니다.

 

 결국, 여유자유도를 활용하는 것은 식 (1.142)의 두번째 항에서 $z$값을 어떻게 결정하느냐에 따라 결정됩니다. 

 만일, 식 (1.142)에서 두번째 항을 0으로 처리하고, 첫 항만 사용하게 될 경우 일반적인 6축 매니퓰레이터의 관절해를 구하는 방법과 같다고 볼 수 있습니다^[각주:2].

 

물론! 그렇다고 단순하게 접근하여, 두 번째 항을 바로 0을 대입하는 등의 방법을 생각하면 안됩니다^{[각주:3] [각주:4]}.

 

 $z$는 결정하기 나름이지만(cost function을 적용하는 등...), 두 번째 항에서 $(I-J^{\sharp} J)$는 결과적으로 1차원으로 연산되며, 신기하게도 일련의 가중치 처럼 적용된다고 합니다.

[각주:5]) 에서 제시한 여자유도 시스템의 IK 및 제어기 구성도">

예시) (T.RO paper^[각주:6]) 에서 제시한 여자유도 시스템의 IK 및 제어기 구성도

 

여자유도 시스템은 아직 구현해 본적이 없어서 이론으로만 공부하는 것은 한계가 있는것 같습니다.

시간이 되면 한번 구현해 보는 것도 포스팅을 해보겠습니다.

 

 

 

 

 

이상입니다.

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* 본 글은 "실험로보틱스 교재 I(매니퓰래이션 및 비젼), 한국로봇학회, 제어로봇시스템학회, 한국로봇산업진흥원 "의 내용을 공부하면서 정리한 내용을 포스팅 한 것 입니다.

참고자료: https://blog.daum.net/pg365/103?category=12988 

여유자유도 역기구학: 영공간(null space) 모션 할당

 

 

 

1. 양변에 J를 곱하고, 의사 역행렬의 첫번째 성질을 활용하면...! [본문으로]
2. 이 말은 6축 로봇의 $J^{-1}$을 구할 때, pseudo inverse를 사용해도 구할 수 있습니다 [본문으로]
3. 다양한 방법이 있겠지만, 그 중에서 속도의 관점으로 접근하거나, 토크의 관점으로 접근하는 방법이 있습니다. [본문으로]
4. 특히, LSM 방법이 속도의 관점으로 접근하는 방식입니다. [본문으로]
5. Description of Instantaneous Restriction Space of Multi-DOF Bialteral Teleoperation Systems Using Position SensorsK. Kim, W. K. Chung and M. C. Cavusoglu, "Description of Instantaneous Restriction Space for Multi-DOFs Bilateral Teleoperation Systems Using Position Sensors in Unstructured Environments," in IEEE Transactions on Robotics, vol. 25, no. 5, pp. 1150-1158, Oct. 2009, doi: 10.1109/TRO.2009.2024789. [본문으로]
6. Description of Instantaneous Restriction Space of Multi-DOF Bialteral Teleoperation Systems Using Position SensorsK. Kim, W. K. Chung and M. C. Cavusoglu, "Description of Instantaneous Restriction Space for Multi-DOFs Bilateral Teleoperation Systems Using Position Sensors in Unstructured Environments," in IEEE Transactions on Robotics, vol. 25, no. 5, pp. 1150-1158, Oct. 2009, doi: 10.1109/TRO.2009.2024789. [본문으로]