기구학 - 강체의 수학적 표현 1

동차 변환 (Homogeneous Transform)

 동차 변환은 좌표 변환(좌표 이동 및 크기 조정)를 나타내는, 간결한 형태를 의미합니다.

다음 그림 1.7과 같이 점 p를 강체 상의 임의의 한 점이라고 할 때,

고정좌표계 O-xyz 기준일 때:

강체 좌표계 O′-x′y′z′ 기준일 때:

 두 좌표계 간의 관계는 고정 좌표계와 강체 좌표계의 좌표 변환으로 정의할 수 있으며, 다음 식 (1.42)와 같이 표현 가능합니다.

(3x1)vector = (3x1)vector + (3x3)Mat * (3x1)vector

 이와 같은 식 (142)의 역변환은 다음과 같이 정의가 가능합니다.

 결론적으로, 식 (1.42)의 $p_{0}$ 이동 변환을 나타내고, $R$은 회전변환을 나타냅니다.

 

 이와 같이 동차 변환은 이동, 회전 둘을 동시에 수행하는 간결성의 장점을 갖기 때문에 로봇 공학 뿐만 아니라 강체의 상태를 수학적으로 표현하는 다양한 곳에서 많이 활용합니다.

 

 동차 변환 행렬에서는 식 (1.40)의 위치 벡터에서 네번째 요소 $\omega$ 즉, 크기 조정 상수가 추가됩니다.

 식 (1.46)를 살펴보면, 결국 물리적 좌표는 $\omega$로 인해 동차 좌표로 표현이 가능하다는 것입니다.

 다행인 점은, 로봇 기구학에서는 $\omega$가 변하지 않고 1의 단위량을 가지게 되므로 굳이 신경쓰지 않아도 됩니다.

그렇지만, 다른 분야에서는 임의의 양수 값을 갖는 경우가 많다고 하니, 알아두면 좋을 것 같습니다.

 

 이와 같이 동차 변환을 활용해서 회전만을 위한 행렬 (1.49 - 1.51), 이동 만을 위한 행렬 (1.52)을 만들 수 있다.

 

결과적으로 식(1.42)를 동차 좌표계와 동차 행렬을 조합하여 가장 많이 쓰는, 최종 형태가 만들어진다.

 

이에 대한 역변환 행렬은 다음과 같이 표현이 가능하며, $(A^{-1})$은 다음과 같이 정의된다.

 

 

 

이상입니다.

 

 

* 본 글은 "실험로보틱스 교재 I(매니퓰래이션 및 비젼), 한국로봇학회, 제어로봇시스템학회, 한국로봇산업진흥원 "의 내용을 공부하면서 정리한 내용을 포스팅 한 것 입니다.

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