동역학 - 라그랑주 운동방정식 1
지난 포스팅에, 라그랑주 운동방정식에 대해서 간단히 살펴봤습니다.
라그랑주 운동 방정식은 운동에너지와 위치에너지 기반의 스칼라량에 중점을 둔 운동방정식입니다.
이러한 라그랑주 운동방정식을 통한 로봇 동역학 모델은 다음과 같습니다.
이때, 은 라그랑지안(Lagrangian)이라는 스칼라 물리량이며, 로봇 시스템 점체의 운동에너지와 위치에너지의 차로 정의 됩니다. 수식은 아래와 같으며, 모두 관절 (, )에 대한 함수 입니다.
다관절 로봇의 경우 운동에너지는 관절 속도벡터의 2차식(quadratic form)형태로 다음과 같이 얻어집니다.
그리고, 스칼라 형태의 라그랑주 식 (2.1)을 벡터식으로 변환하면 다음과 같습니다.
라그랑지안의 정의를 활용하면 식 (2.3)은 다음과 같이 변환이 가능합니다.
유효한 로봇 동역학 모델을 유도하기 위해 식 (2.2)를 라그랑주 운동 방정식 (2.4)에 적용하면 다음과 같이 '로봇 동역학 모델'을 얻을 수 있다.
추가적으로 코리올리스 항에 대해서 조금만 더 생각해보자. 어찌보면 느껴보기 힘든 물리량이기도 하니까...
식 (2.6)을 보면, 결국 관절 속도 벡터의 2차식 형태가 됨을 알 수 있습니다.
이러한 식을 해석적으로 접근하기 위해 2차원 및 3차원 텐서 (tensor) 기호로 표현할 수 있습니다.
3차원 텐서인 (Cheistoffel symbols)를 이용하여 로봇 제어기 설계나 안정성 증명에 많이 활용되는 로봇 동역학 모델의 중요한 특성 중 하나를 유도할 수 있습니다.
그래서 결국은 $\dot{M}(q)-2C(q, \dot{q])$은 반대칭(skew symmetric) 행렬임을 유도 할 수 있습니다.
* 각 요소 값을 2차원 텐서로 표현하여 증명:
이상입니다.
* 본 글은 "실험로보틱스 교재 I(매니퓰래이션 및 비젼), 한국로봇학회, 제어로봇시스템학회, 한국로봇산업진흥원 "의 내용을 공부하면서 정리한 내용을 포스팅 한 것 입니다.
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